Bài giảng Toán A2 - Chương 2: Hệ phương trình tuyến tính

Chương 2
HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN
TÍNH
Huỳnh Văn Kha
Đại Học Tôn Đức Thắng
Toán A2 - MS: C01002
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Hệ pt tuyến tính Toán A2 - MS: C01002 1 / 10
Nội dung
1 Các khái niệm chung
2 Phương pháp Gauss
3 Hệ thuần nhất
4 Hệ Cramer
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Hệ pt tuyến tính Toán A2 - MS: C01002 1 / 10
Hệ phương trình tuyến tính
Định nghĩa
Hệ phương trình đại số tuyến tính là hệ có dạng:
a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = b2
... ... ... ... ... ... ... ... ...
am1x1 + am2x2 + ... + amnxn = bm
Trong đó:
xi là các ẩn số,
aij là các hệ số,
bj là các hệ số tự do
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Hệ pt tuyến tính Toán A2 - MS: C01002 2 / 10
Đặt:
A =

a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
· · · · · · · · · · · ·
am1 am2 · · · amn
, X =

x1
x2
...
xn
, B =

b1
b2
...
bm

Thì hệ được viết lại: AX = B . Ta gọi:
A là ma trận hệ số
X là ma trận ẩn
B là ma trận hệ số tự do
A = (A|B) là ma trận hệ số mở rộng
Một nghiệm là 1 vector (c1, · · · , cn) ∈ Rn mà khi thay
x1 = c1, . . . , xn = cn thì tất cả phương trình đều thỏa.
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Hệ pt tuyến tính Toán A2 - MS: C01002 3 / 10
Phương pháp Gauss
Dùng phép biến đổi sơ cấp trên dòng để đưa
A = (A|B) về dạng bậc thang. Suy ra nghiệm.
Ví dụ: Giải các hệ sau
1)

−2x1 − x2 + 2x3 + x4 = 4
x1 + x2 + x4 = 2
−x1 + x2 + 4x3 = −1
−x1 − 2x3 = −2
− x2 − 2x3 + x4 = 4
2)

x1 + 2x2 − x3 = −2
−2x1 − 2x2 + 2x3 + x4 = 2
−x1 + x3 + x4 = 0
2x1 + 2x2 − x3 − 2x4 = −1
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Hệ pt tuyến tính Toán A2 - MS: C01002 4 / 10
3)
 x1 − 3x2 + 2x3 − x4 = 24x1 + x2 + 3x3 − 2x4 = 1
2x1 + 7x2 − x3 = −1
Định lý Kronecker – Capelli
Cho hệ phương trình tuyến tính gồm m phương trình, n
ẩn, với ma trận hệ số mở rộng A = (A|B). Ta có:
Nếu r(A) < r
(
A
)
thì hệ vô nghiệm
Nếu r(A) = r
(
A
)
= n thì hệ có nghiệm duy nhất
Nếu r(A) = r
(
A
)
< n thì hệ vô số nghiệm
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Hệ pt tuyến tính Toán A2 - MS: C01002 5 / 10
4)

3x1 + 4x2 − 6x3 − 7x4 = −18
2x1 + 6x2 − 14x3 − 5x4 = −13
−x1 − 2x2 + 4x3 + 4x4 = 11
2x1 + 4x2 − 8x3 − 5x4 = −13
−x1 − 2x3 + 3x4 = 8
Nếu A ∈Mn thì:
hệ có nghiệm duy nhất⇔ r(A) = n⇔ det(A) 6= 0.
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Hệ pt tuyến tính Toán A2 - MS: C01002 6 / 10
Hệ thuần nhất
Hệ phương trình tuyến tính gọi là thuần nhất khi tất cả
các hệ số tự do bằng 0
Hệ thuần nhất luôn có nghiệm X = 0. Nghiệm này gọi là
nghiệm tầm thường.
Nghiệm khác 0 gọi là nghiệm không tầm thường.
Hệ thuần nhất AX = 0 chỉ có 2 khả năng sau:
1. Hệ có nghiệm duy nhất ⇔ hệ chỉ có nghiệm tầm
thường ⇔ r(A) = số ẩn
2. Hệ có vô số nghiệm ⇔ hệ có nghiệm không tầm
thường ⇔ r(A) < số ẩn
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Hệ pt tuyến tính Toán A2 - MS: C01002 7 / 10
Suy ra: nếu số phương trình nhỏ hơn số ẩn thì hệ thuần
nhất có nghiệm không tầm thường.
Nếu A ∈Mn thì hệ có nghiệm không tầm thường khi và
chỉ khi: r(A) < n⇔ det(A) = 0.
Ví dụ: giải hệ thuần nhất sau
x1 + 2x2 + 4x3 − 3x4 = 0
3x1 + 5x2 + 6x3 − 4x4 = 0
4x1 + 5x2 − 2x3 + 3x4 = 0
3x1 + 8x2 + 24x3 − 19x4 = 0
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Hệ pt tuyến tính Toán A2 - MS: C01002 8 / 10
Hệ Cramer
Hệ Cramer là hệ phương trình tuyến tính mà số phương
trình bằng số ẩn và định thức của ma trận hệ số khác 0
Cách giải hệ Cramer AX = B :
PP1: Dùng phương pháp Gauss
PP2: X = A−1B
PP3: Dùng công thức Cramer
Thay B vào cột thứ i của A, gọi nó là ma trận Ai .
Thì:
xi =
detAi
detA
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Hệ pt tuyến tính Toán A2 - MS: C01002 9 / 10
Ví dụ:
1) Giải hệ sau x1 + 3x2 + 7x3 = 12x1 + x2 + 2x3 = 0−7x1 + x2 + 4x3 = 1
2) Giải và biện luận hệ sau theo tham số m mx1 + x2 + x3 = 1x1 + mx2 + x3 = m
x1 + x2 + mx3 = m
2
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Hệ pt tuyến tính Toán A2 - MS: C01002 10 / 10