Bài giảng môn Vật lý đại cương 2 - Chương 6: Hệ nhị phân

Hệ nhị phân
Trong ngôn ngữ nhị phân 1/0, một số 0 hay số 1 là một bit. Số thập phân từ 0 đến 9 có thể được biểu hiện 4 bit cho mỗi số như sau:
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0000
0001
0010
0011
0100
0101
0110
0111
1000
1001
Mẫu tự La-tinh, mỗi chữ 8 bit:
a
b
c
d
e
f
01100001
01100010
01100011
01100100
01100101
01100110
Chương 6: Cơ học lượng tử
Lưỡng tính sóng hạt của vật chất
Phương trình Schrodinger
Hạt trong giếng thế vô hạn một chiều
Hệ thức bất định Heisenberg
Kính hiển vi quét qua
a.
b.
c.
d.
e.
Lưỡng tính sóng hạt của
_ —
Giả thuyết De Broglie Vi du
■
Kiểm chứng
ứng dụng
Bản chất của sóng vật chất
Bài tập
Giả thuyết De Broglie
Ánh sáng có lưỡng tính sóng-hạt.
Các hạt vật chất phải chăng cũng có lưỡng tính sóng-hạt?
De Broglie, 1923 - các hạt vật chất cũng là sóng, bước sóng vật chất (hay sóng De Brogỉie] của một hạt có động lượng p là:
6.1 Lưỡng tính sóng hạt của
Ví du 1
= 6,626x10
Voi Dumbo khối lượng 1000 kg, bay với vận tốc 10 m/s sẽ có bước sóng De Broglie là bao nhiêu?
6,626xl0“34
Bước sóng này quá nhỏ để có thể quan sát được.
Lưỡng tính sóng hạt của
Bước sóng De Broglie của một hạt bụi khối lượng 10-9 kg rơi với vận tốc 0,020 m/s.
6,626x10''/^
1 o-9 kg X0,020m/ s
Bước sóng này cũng quá nhỏ để có thể quan sát được.
■
Các hạt vĩ mô không thể hiện rõ tính sóng.
Lưỡng tính sóng hạt của
Một electron trong mạch điện hay trong nguyên tử có động năng trung bình vào khoảng 1 eV, có bước sóng De Broglie bằng:
 /ỉ 
6,626xl0 34/-s
yỉÌmK -
j2x(9,ll-10’31/cg)x(l,6-10’19/)
= 10 9m = 10Ă
Bước sóng này vào cỡ kích thước của nguyên tử nên có thể quan sát được.
Các hạt vi mô thể hiện rõ tính sóng.
Kiểm chứng thực nghiệm
6.1 Lưỡng tính sóng hạt của
-	H	
Davisson và Germer, 1927: electron có thê nhiễu xạ trên tinh thê Nickel giống như tia X vậy.
Nhiễu xạ của electron trên tinh thể cũng tuân theo định luật Bragg.
Bước sóng electron đo được phù hợp với giả thuyết De Broglie.
Electron
G. p. Thomson, 1927: electron có thể nhiễu xạ trên màng mỏng kim loại, tạo ra vân tròn tương tự như tia X nhiễu xạ trên bột đa tinh
6.1 Lưỡng tính sóng hạt của
$000
4 000
JOOO
2000
Ị 000
SCANNING SLIĨ POSITION
Zeilinger et al., 1988: Nhiêu xạ neutron trên hai khe.
6.1 Lưỡng tính sóng hạt của
• Sóng dừng của electron trên bê mặt đồng, ảnh chụp bằng Scanning Tunneling Microscope (IBM Almaden Research Center).
6.1 Lưỡng tính sóng hạt của
— 	 —
ứng dụng của sóng De Broglie
Kính hiển vi điện tử dùng sóng electron thay cho sóng ánh sáng, có độ phóng đại lên đến 2 triệu 1'ân.
■
Nhiễu xạ electron, nhiễu xạ neutron được dùng để tìm hiểu cấu trúc vật chất, tương tự như nhiễu xạ tia X.
■
6.1 Lưỡng tính sóng hạt của
6.1 Lưỡng tính sóng hạt của
■“•	- - - - -
11)
Max Born, 1928: sóng vật chất là sóng xác suất. Bình phương biên độ hàm sóng ở một vị trí thì tỷ lệ với xác suất tìm thấy hạt tại đó.
Gọi ^(x^z) là hàm sóng vật chất tại vị trí (x,y,z) của một hạt, dv là một thể tích nhỏ bao quanh vị trí này, xác suất tìm thấy hạt trong thể tích dyià:
I H'fxj'z] 12 là mật độ xác suất của hạt tại (x,y,z).
ạtxhat (
Lưỡng tính sóng hạt của
12)
^(x^z) là một số phức, nên ta còn có:
Xác suất tìm thấy hạt trong toàn bộ không gian V, trong đó hạt tồn tại, phải bằng đơn vị, do đó:
2 ,
dv = 1
V
Đó là điều kiện chuẩn hóa của hàm sóng vật chất.
Lưỡng tính sóng hạt của <7Tr	vật chất (13)
Bài tập 2
Hàm sóng của một hạt bị "giam" trong khoảng từ 0 đến L là >lsin(TOc/L), A là một hằng số. Xác suất tìm thấy hạt ở vị trí nào sau đây là lớn nhất?
6.1 Lưỡng tính sóng hạt của
14)
at chất (
Mật độ xác suất:
w = A2sin2(nx/L)
Cực trị của w được cho bởi:
sin[7rx/L)cos(7ĩx/L) = 0
tĩx/L = 0, n/2, Tĩ
w cực đại ứng với X =
L/2.
Câu trả lời đúng là (bj.
Lưỡng tính sóng hạt của
vật chất (15)
Bài tập 3
Bước sóng De Broglie của một electron được tăng tốc không vận tốc đầu bởi hiệu điện thế u bằng:
2/ỉ	h
J	Suy ra động lượng: p - J2meeU
Vậy bước sóng De Broglie là:
2=	*
yJ2meeU
Câu trả lời đúng là (a).
.	6.1 Lưỡng tính sóng hạt của
vật chất (16)
• Động năng của electron sau khi tăng tốc:
6.2 Phương trình Schrodinger
3nC,6.2 Phương trình Schrodinger (1)
<■ . ■
Phương trình Schrodinger tổng quát
Phương trình Schrodinger dừng
Hàm sóng của hạt tự do
»c,6.2 Phương trình Schrodinger (2)
◄ -**■ ♦
2a. Phương trình Schrodinger tổng quát
• Hàm sóng 'PfxjZ'Z't] của một hạt khối lượng m, chuyển động trong trường có thế năng U(x,y,z,t) thỏa phương trình Schrodinger tổng quát:
• trong ãó h = h/2ĩi, và Á là Laplacian'.
£|6.2 Phương trình Schrodinger (3)
2b. Phương trình Schrodinger dừng
Khi thế năng u không phụ thuộc vào thời gian thì nghiệm của phương trình Schrodinger có thể viết dưới dạng:
-ĩ—t
2 Phương trình Schrodinger (4)
2c. Hàm sóng của hạt tự do
• Phương trình Schrodinger dừng của một hạt tự do chuyển động theo dọc trục x:
• với E bây giờ là động năng của hạt. Phương trình này có nghiệm tổng quát là:
6.2 Phương trình Schrodinger (5)
Hàm sóng ứng với sô hạng thứ nhất:
	 -iẸ-t .	. ~t(Eí~Px)
T = e f' -Aer' =Ae n
^ = Ae~'^~k^ ữ)=Ẹ- k = — h h
là một sóng phẳng truyền theo trục X > 0, cỏ tần số góc (ơ, vectơ sóng k, và bước sóng phù hợp với giả thuyết De Broglie:
. _ 2ĩĩ _ h
k p
6.3 Hạt trong giếng thế vô hạn một chiều
6.3 Hạt trong giếng thế vô hạn
►	A.	—	— M
a.
b.
c.
d.
Giếng thê vô hạn một chiều Năng lượng bị lượng tử hóa Hàm sóng
Bài tập
Giếng thế vô hạn một chiều
Hạt chuyển động trong giếng thế vô hạn một chiều có thế năng xác đinh bởi: trong đó ữ là độ rộng của giếng thế.
	_ _ z X" X
một rhiều (6)
Hàm sóng
• Phương trình Schrodinger dừng của hạt trong giếng thế:
• Phương trình này có nghiệm tổng quát: o (X) = A s i n (kx) + B c o s (kx) k = ^Ỉ2mE Ịh = p/ti
6.3 Hạt trong giếng thế vô hạn
M	.
Hàm sóng ở ngoài giếng là bằng không, vì hạt bị giam trong giếng thê' vô hạn.
Ngoài ra, để hàm sóng biến thiên ỉiên tục thì ở hai vách giếng nó cũng phải bằng không:
0(o) = o, O(ữ) = 0
0(0) = 4sin(0) + 5cos(0) = 0=>5 = 0
(ữ) = 4sin(kữ) = 0=> sin(kfl)-A k-nTĩ/a n = l,2...
Hàm sóng dừng phụ thuộc vào n:
= i4sin n
Vì k bị lượng tử hóa nên năng lượng cũng vậy:
2m 2ma 8ma
Từ điều kiện chuẩn hóa ta tìm được hằng số A\
— sin n
Hàm sóng (phụ thuộc thời gian) sẽ là:
Mật độ xác suất của hạt (độc lập với thời gian):
* .
n - sin
E..I . í —t sin n
6.3 Hạt trong giếng thế vô hạn
►	A.	—	— M	_
■fc 6.3 Hạt trong giếng thế vô hạn
'	■■■■	10)
1sóng dừng^
A A Al
n = 2	
Mật độ xác suất
■ ■
t ó.3 Hạt trong giếng thế vô hạn
K. 6.3 Hạt trong giếng thế vô hạn
một rhiều (4)
• Do đó năng lượng của hạt là:
" 2m 8ma2
Năng lượng hạt đã bị lượng tử hóa.
Số n được gọi là số lượng tử năng lượng.
Mức năng lượng thấp nhất, ứng với n = 1, là khác không, trái với quan niệm cổ điển.
ứ = 3(A/2)
ữ = 2(A/2)
a = Ả/2
3d. Bài tập 1
Một vi hạt khối lượng m, chuyển động trên trục X trong trường thế có dạng hố thế cao vô hạn, bề rộng a. Khi hạt có năng lượng:
E = 2n2h2 / ma2
thì khả năng tìm thấy hạt là lớn nhất ở tọa độ X bằng:
ữ/4 và 3ơ/4
ữ/2
[C] ữ/4
(d) 3ữ/4
3d. Trả lời bài tập 1
Năng lượng của vi hạt trong hố thế vô hạn:
En - n2iĩ2h2/2ma2
Trong trường hợp đang xét:
E = 2n2h2Ịma2 • n -2, câu trả lời đúng là (a).
	yv _	■ bY/v	r	■%
ZXT"	MIAII fl « 1
^^^fltJ6hiều (13)
3d. Bài tập 2
Xét một vi hạt trong giếng thê cao vô hạn, bê rộng a. Ở vị trí nào sau đây thì xác suất tìm thây hạt ở trạng thái n = 1 và n = 2 là như nhau (trừ tại hai vách giếng thế):
«/3
2a/3
(a) và (b) đúng.
(a) và (b) sai.
3d. Trả lời bài tập 2
Ở vị trí cần tìm mật độ xác suất của hai trạng thái là như nhau:
w1 = w2
sin2{7rx/ữ) = sin2(27rx/ữ)
cos(7rx/ữ] =±1/2
Tix/a = 7ĩ/3, 2tt/3
X = ữ/3, 2ữ/3
Câu trả lời đúng là (c).
	yv _	■ bY/v	r	■%
ZXT"	MIAII fl K 1
^^^fltJ6hiều I15)
3d. Bài tập 3
Một electron trong một giếng thê vô hạn có bê rộng 2 nm chuyển từ mức có n = 5 xuống mức có n = 3. Bước sóng của photon phát ra là:
97,8 nm
824 nm
(ỳ) 2 nm
(d) 8971 nm
3d. Trả lời bài tập 3
• Khi electron chuyển từ mức n2 về mức nr thì nó phát ra một photon có năng lượng:
• Suy ra bước sóng của photon:
2 _ he 1	_ Scma2 1
h2/8ma2 nị-nị h nỊ-n2
8x(3408m/s)(9,l-10_31/ẹg)(2-10’9m)2	1
=	6,626-10_34/-s	52-32
• Ấ = 824 nm, câu trả lời đúng là (b).
Chương 6: Cơ học lượng tử
6.4 Hệ thức bất định Heisenberg
.4 Hệ thức bất định Heisenberg (1)
Hệ thức bất định của vị trí và động lượng
Ví dụ
Hệ thức bất định của thời gian và năng lượng
Hiệu ứng đường ngầm
Hệ thức bất định Heisenberg (2) fV '	 '
4a. Bất định của vị trí và động lượng
Giữa độ bất định (độ chính xác) của tọa độ và động lượng có hệ thức:
Ax-An >h
* JTL
Ạy-Apy>/ĩ
Az • Apz > h
Không thể xác định được chính xác đồng thời tọa độ và động lượng của các vi hạt.
Không thể xác định quỹ đạo vi hạt.
Hệ thức bất định Heisenberg (3)
4b. Ví dụ 1
Một electron có vận tốc bằng 2,05 X 106 m/s, được đo với độ chính xác là 1,5 %. Tìm ầx.
Động lượng của electron:
p = mv = (9,11-IO"31 kg}-(2,05-106m/s)
= l,87-10“24kg.m/s
Độ bất định động lượng:
Ap = 1,5%P = 2,80 • 10’26 kg.mịs
h	o
Ax >—— = 2,4x10 8m = 24nm
APx
ầx ~ 200 lần kích thước nguyên tử !
.4 Hệ thức bất định Heisenberg (4)
4b. Ví dụ 3	I
Một quả banh golf có khối lượng 45 g đang bay với vận tốc 35 m/s. Vận tốc được đo với độ chính xác là 1,5 %. Tìm ầx.
Làm tương tự như trong Ví dụ 1, ta suy ra độ bất định về vị trí của quả banh:
Ax>3xl0“32m
Độ bất định này rất nhỏ: với các vật vĩ mô vẫn xác định được chính xác đồng thời vị trí và động lượng.
.4 Hệ thức bất định Heisenberg (5)
4b. Ví dụ 4
Bó sóng là tổ hợp tuyến tính của nhiều sóng hình sin có động lượng rất gần nhau.
Phân bố của động lượng càng rộng (ấp lớn],
thì bó sóng càng hẹp (Ax nhỏ].
Hệ thức bất định Heisenberg (6) fV '	 '
4c. Bất định của thời gian và năng lượng
Gọi At là thời gian hạt tồn tại ở một trạng thái;
ầE là độ bất định của năng lượng hạt ở trạng thái đó.
Giữa chúng có hệ thức:
Độ bất định năng lượng của một trạng thái càng lớn thì thời gian tồn tại của trạng thái đó càng ngắn.
Do đó một bó sóng không thể tồn tai lâu.
4 Hệ thức bất định Heisenberg (7)
4d. Hiệu ứng đường ngâm
Xét một hạt bị giam trong giếng thê' có độ sâu u. Giả sử trạng thái hạt là không bền, chỉ tồn tại trong thời gian rất ngắn ầtxh/u.
Trong khoảng thời gian đó độ bất định năng lượng của hạt là :
A£>A=_L=i/
At h/u
Hạt có độ bất định năng lượng lớn hơn độ sâu giếng thế, do đó có thể thoát ra khỏi giếng thế!
Hệ thức bất định Heisenberg (8)
• với E là năng lượng của hạt, (x,y,z) là hàm sóng đừng, thỏa phương trình Schrodinger dừng:
/ *í	A	I