Bài giảng Hình học Lớp 12 - Chương 3 - Bài 1: Hệ toạ độ trong không gian

TRƯỜNG THPT ĐÌNH LẬP 
Đình Lập 
Lạng Sơn 
T H P T 
Đình Lập 
ĐL 
Giáo viên soạn: Trần Trọng Tiến 
HỆ TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN 
 __ _ _____ __ __ ____ 
I. Toạ độ của điểm và của véct ơ 
1. Hệ toạ độ 
Trong không gian, cho ba trục x’Ox, y’Oy, z’Oz vuông góc với nhau đôi một. Gọi i , j , k lần l ư ợt là các véct ơ đ ơ n vị trên các trục x’Ox, y’Oy, z’Oz. 
Hệ gồm ba trục nh ư vậy đ ư ợc gọi là hệ trục toạ độ Đề – Các vuông góc Oxyz trong không gian, hay đ ơ n giản h ơ n gọi là hệ toạ độ Oxyz. 
Điểm O đ ư ợc gọi là gốc toạ độ. 
Các mặt phẳng (Oxy), (Oyz), (Ozx) đôi một vuông góc với nhau đ ư ợc gọi là các mặt phẳng toạ độ. 
Không gian toạ độ Oxyz còn gọi là không gian Oxyz. 
O 
y 
x 
z 
Vì i , j , k đôi một vuông góc nên: 
Trần Trọng Tiến 
Đình Lập 
 __ _ _____ __ __ ____ 
I. Toạ độ của điểm và của véct ơ 
1. Hệ toạ độ 
Hoạt động 1 . Trong không gian Oxyz cho điểm M. Hãy phân tích véct ơ OM theo ba vect ơ không đồng phẳng i , j , k đã cho trên các trục Ox, Oy, Oz. 
Giải 
Dựng hình hộp OM 1 M’M 2 .M 3 M’’’MM’’ 
 Khi đó OM 1 , OM 2 , OM 3 cùng ph ươ ng 
 với các vect ơ i , j , k . Khi đó ta có 
M’’ 
M’ 
M 1 
M 3 
M’’’ 
M 2 
O 
y 
x 
z 
M 
Trần Trọng Tiến 
Đình Lập 
 __ _ _____ __ __ ____ 
I. Toạ độ của điểm và của véct ơ 
2. Toạ độ của điểm 
O 
y 
x 
z 
M 
M 2 
M’ 
M 1 
M 3 
M’’’ 
M’’ 
Trong không gian Oxyz cho điểm M tuỳ ý. Vì ba vect ơ i , j , k không đồng phẳng nên có một bộ ba số (x; y; z) duy nhất sao cho 
Ng ư ợc lại, với bộ ba số (x; y; z) ta có duy nhất một điểm M trong không gian thoả mãn hệ thức 
Ta gọi bộ ba số (x; y; z) đó là toạ độ của điểm M đối với hệ toạ độ Oxyz đã cho và viết: 
M= (x; y; z) , hoặc M(x; y; z). 
Từ định nghĩa ta suy ra toạ độ hình chiếu của điểm M trên các trục Ox, Oy, Oz và các mặt phẳng toạ độ (0xy). (0yz), (0xz) 
là các điểm M 1 (x; 0; 0), M 2 (0; y; 0), M 3 (0; 0; z), M’(x;y;0) , M’’(0; y; z), M”’(x; 0; z). 
Trần Trọng Tiến 
Đình Lập 
 __ _ _____ __ __ ____ 
I. Toạ độ của điểm và của véct ơ 
2. Toạ độ của một điểm 
M 2 
 M= (x; y; z) , hoặc M(x; y; z). 
O 
y 
x 
z 
M 
M’ 
M 1 
M 3 
M’’’ 
M’’ 
3. Toạ độ của vect ơ 
Trong không gian Oxyz cho a . Khi đó tồn tại duy nhất một bộ ba số (a 1 ; a 2 ; a 3 ) 
Ta gọi bộ ba số (a 1 ; a 2 ; a 3 ) đó là toạ độ của vec t ơ a đối với hệ toạ độ Oxyz cho tr ư ớc và viết a = (a 1 ; a 2 ; a 3 ) hoặc a(a 1 ;a 2 ;a 3 ). 
Nhận xét. Trong toạ độ Oxyz, toạ độ điểm M chính là toạ độ của vec t ơ OM. 
Ta có M=(x; y; z)  OM = (x; y; z) 
Trần Trọng Tiến 
Đình Lập 
 __ _ _____ __ __ ____ 
I. Toạ độ của điểm và của véct ơ 
2. Toạ độ của một điểm 
 M= (x; y; z) , hoặc M(x; y; z). 
3. Toạ độ của vect ơ . 
Hoạt động 2 . Trong toạ độ Oxyz, cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có đỉnh A trùng với gốc O, có AB, AD, AA’ theo thứ tự cùng h ư ớng với i , j , k có AB=a, AD = b, AA’ = c. Hãy tính toạ độ các véct ơ AB , AC, AC’ và AM với M là trung điểm cạnh C’D’. 
Giải 
A 
y 
x 
z 
C’ 
D’ 
C 
B 
A’ 
B’ 
D 
M 
Trần Trọng Tiến 
Đình Lập 
 __ _ _____ __ __ ____ 
I. Toạ độ của điểm và của véct ơ 
 M= (x; y; z) 
II. BTTĐ của các phép toán vect ơ . 
Trong không gian Oxyz cho hai vect ơ 
Chứng minh 
Trần Trọng Tiến 
Đình Lập 
 __ _ _____ __ __ ____ 
I. Toạ độ của điểm và của véct ơ 
 M= (x; y; z) 
II. BTTĐ của các phép toán vect ơ . 
Trong không gian Oxyz cho hai vect ơ 
c) a và b cùng ph ươ ng khi và chỉ khi a 1 =kb 1 , a 2 = kb 2 , a 3 = ka 3 
e) M là trung điểm AB khi và chỉ khi 
Ví dụ 1. Cho A(1; 3; 2), B(3;-2;1) và C(4;-1;3). Tìm toạ độ điểm D sao cho ABCD là hình bình hành. 
Giải 
Do ABCD là hình bình hành khi đó ta có: 
A 
B 
C 
D 
Vậy D = (2; 4; 4) 
Trần Trọng Tiến 
Đình Lập 
 __ _ _____ __ __ ____ 
I. Toạ độ của điểm và của véct ơ 
 M= (x; y; z) 
II. BTTĐ của các phép toán vect ơ . 
Trong không gian Oxyz cho hai vect ơ 
c) a và b cùng ph ươ ng khi và chỉ khi a 1 =kb 1 , a 2 = kb 2 , a 3 = ka 3 
e) M là trung điểm AB khi và chỉ khi 
Ví dụ 2. 
Cho A(1; 1; 1), B(0;7/3;2/3) và C(7/4; 0; 5/4). Chứng minh A, B, C thẳng hàng. 
Giải 
=> AB , AC cùng ph ươ ng hay A, B, C thẳng hàng. 
Trần Trọng Tiến 
Đình Lập 
 __ _ _____ __ __ ____ 
I. Toạ độ của điểm và của véct ơ 
 M= (x; y; z) 
II. BTTĐ của các phép toán vect ơ . 
Trong không gian Oxyz cho hai vect ơ 
c) a và b cùng ph ươ ng khi và chỉ khi a 1 =kb 1 , a 2 = kb 2 , a 3 = ka 3 
e) M là trung điểm AB khi và chỉ khi 
Ví dụ 3. Cho A(1; 3; 2), M(3;-2;1) . Tìm toạ độ điểm B sao cho A, B đối xứng nhau qua điểm M. 
Giải 
Do A và B đối xứng nhau qua M nên M là trung điểm AB, nên ta có 
Vậy toạ độ điểm B = (5; -7; 0) 
Trần Trọng Tiến 
Đình Lập 
CỦNG CỐ 
Qua bài học học sinh cần nắm đ ư ợc 
Hệ toạ độ trong không gian. 
Toạ độ của vect ơ . 
Toạ độ của điểm, toạ độ hình chiếu của một điểm trên các trục toạ độ và các mặt phẳng toạ độ. 
Các phép toán về vect ơ . 
Điều kiện ba điểm thẳng hàng, ph ươ ng pháp tìm toạ độ của một điểm qua phép đối xứng tâm.