Bài giảng Đại số tuyến tính - Chương 4: Chéo hóa ma trận, Dạng toàn phương

Chương 4. 
Chộo húa ma trận – Dạng toàn phương 
Đ1. TRỊ RIấNG VÀ VẫCTƠ RIấNG CỦA MA TRẬN 
1.1. Định nghĩa. Cho ma trận vuông A cấp n. Số được gọi là trị 
riêng của A nếu tồn tại véctơ sao cho 
Khi đú véctơ được gọi là véctơ riêng của A ứng với trị riêng 
Chú ý. Nếu x là véctơ riêng của A ứng với trị riêng thì với mọi số 
 véctơ cũng là véctơ riêng của A ứng với trị riêng 
λ
nx , x∈ ≠ θℝ Ax x= λ
≠ θx λ
λ
0α ≠ xα λ
▪ Để tìm các trị riêng của ma trận vuông A cấp n, ta viết 
thành ; I là ma trận đơn vị cấp n 
 : là hệ phương trình tuyến tính thuần nhất. 
Để là trị riêng của A thì hệ trên phải có nghiệm 
 : đây là phương trình để xác định các trị riêng của A 
và được gọi là phương trình đặc trưng của A. 
Đa thức : được gọi là đa thức đặc trưng của A. 
Ax x= λ
Ax Ix= λ
( )A I x O⇒ −λ =
λ x ≠ θ
A I 0⇔ −λ =
( )AP A Iλ = − λ
 ▪ Cách tìm trị riêng và véctơ riêng của ma trận vuông A: 
B1. Giải phương trình đặc trưng (với ẩn là ) để 
tìm các trị riêng của A. 
B2. Giải hệ phương trình tuyến tính thuần nhất . 
Nghiệm không tầm thường của hệ chính là véctơ riêng cần tìm. 
A I 0− λ = λ
( )A I x O− λ =
Định nghĩa 1. Đặt : là không 
gian nghiệm của hệ và được gọi là không gian riêng 
của A ứng với trị riêng 
Định nghĩa 2. ▪ Bội đại số (BĐS) của trị riêng là bội của trị riêng 
 trong phương trình đặc trưng. 
▪ Bội hình học (BHH) của trị riêng là số chiều của không gian riêng 
ứng với trị riêng đó (tức ). 
Định lý 1. BHH của một trị riêng luôn bộ hơn hoặc bằng BĐS của nó. 
Chú ý. BHH của trị riêng luôn lớn hơn hoặc bằng 1. 
Định lý 2. Các véctơ riêng ứng với các trị riêng khác nhau thì đltt. 
( ) ( ){ }nE x A I x Oλ = ∈ − λ =ℝ
( )A I x O− λ =
λ
λ
λ
λ
dim E( )λ
 VD. Hãy tìm các cơ sở của không gian riêng của ma trận 
1.2. Ma trận đồng dạng 
Định nghĩa. Cho A, B là hai ma trận vuông cấp n. Ma trận B được 
gọi là đồng dạng với ma trận A, ký hiệu , nếu tồn tại ma trận 
vuông P cấp n không suy biến sao cho B = P-1AP. 
Chú ý. Nếu thì 
Định lý. Hai ma trận đồng dạng có cùng đa thức đặc trưng (tức có 
chung tập trị riêng). 
3 2 0
A 2 3 0
0 0 5
 −    = −    
B A∼
B A∼ A B∼
Đ2. CHẫO HểA MA TRẬN 
2.1. Định nghĩa. Ma trận vuông A cấp n gọi là chéo hóa được nếu A 
đồng dạng với ma trận chéo, tức tồn tại ma trận khả nghịch P cấp n 
sao cho P-1AP = D là ma trận chéo. 
Khi đó ta nói ma trận P làm chéo hóa ma trận A. 
(Như vậy chéo hóa ma trận A là tìm ra ma trận khả nghịch P và ma 
trận chéo D). 
Định lý. (Điều kiện cần và đủ để ma trận chéo hóa được) 
Điều kiện cần và đủ để ma trận vuông A cấp n chéo hóa được là A có 
n véctơ riêng đltt. 
Chứng minh. Xem [1] 
Việc chứng minh Định lý trên đã chứng tỏ rằng: 

 Ma trận P có các cột là các véctơ riêng đltt của A. 

 Ma trận D có các phần tử nằm trên đường chéo chính lần lượt là 
các trị riêng tương ứng với các véctơ riêng tạo nên P. 
Hệ quả 1. Nếu ma trận vuông A cấp n có n trị riêng phân biệt thì 
A chéo hóa được. 
Hệ quả 2. Ma trận vuông A cấp n chéo hóa được khi và chỉ khi 
BHH của mọi trị riêng bằng BĐS của chúng. 
 2.2. Các bước chéo hóa một ma trận vuông A cấp n 
B1. Giải phương trình đặc trưng để tìm các trị riêng 
của A. Xác định BĐS của từng trị riêng. 
B2. Giải các hệ phương trình tương ứng với từng trị riêng. Tìm cơ sở 
của các không gian riêng để từ đó xác định BHH của từng trị riêng. 
B3. ▪ Nếu BHH của một trị riêng nào đó bé hơn BĐS của nó thì A 
không chéo hóa được. 
▪ Nếu Hệ quả 2 thỏa mãn thì A chéo hóa được. Ma trận P có các cột 
là các véctơ riêng cơ sở của các không gian riêng. Các phần tử trên 
đường chéo chính của D lần lượt là các trị riêng ứng với các véctơ 
riêng tạo nên P. (Có thể thay đổi thứ tự các cột của P miễn sao trị 
riêng của ma trận D ứng với các véctơ riêng tạo nên P) 
A I 0− λ =
 VD. Xét xem ma trận A có chéo hóa được không? Nếu được hãy tìm 
ma trận P làm chéo hóa A, viết dạng chéo của A và tính An. 
3 2 0 3 3 2
1) A 2 3 0 ; 2) A 1 1 2
0 0 5 3 1 0
3 1 1 1 2 3
3) A 7 5 1 ; 4) A 0 2 3
6 6 2 0 0 3
   −        = − = −        − −   
   − −        = − − =        − −   
3.1. Định nghĩa. ▪ Ma trận vuông A cấp n được gọi là ma trận trực 
giao nếu: ATA = I ( hay A-1 = AT ) 
▪ Ma trận vuông A cấp n được gọi là chéo hóa trực giao được nếu 
tồn tại ma trận trực giao P cấp n sao cho P-1AP = D là ma trận chéo. 
Khi đó ta nói ma trận P làm chéo hóa trực giao ma trận A. 
Định lý. (Điều kiện cần và đủ để ma trận chéo hóa trực giao được) 
Điều kiện cần và đủ để ma trận vuông A cấp n chéo hóa trực giao 
được là A có một hệ trực chuẩn gồm n véctơ riêng. 
3.2. Chéo hóa trực giao ma trận đối xứng 
Định lý 1. Điều kiện cần và đủ để ma trận vuông A cấp n chéo hóa 
trực giao được là A đối xứng. 
Đ3. CHẫO HểA TRỰC GIAO 
Định lý 2. Cho ma trận vuông A đối xứng. Khi đó các véctơ riêng 
ứng với các trị riêng khác nhau sẽ trực giao. 
3.3. Quy trình chéo hóa trực giao ma trận đố