Bài giảng Đại số tuyến tính - Chương 3: Không gian véctơ

Chương 3. Khụng gian vộctơ 
Đ1. KHÁI NIỆM KHễNG GIAN VẫCTƠ 
1.1. Định nghĩa. Một tập V ≠ được gọi là khụng gian vộctơ 
(khụng gian tuyến tớnh) trờn (hay khụng gian vộctơ) nếu: 

 Cú 2 phộp toỏn: 
• Phộp cộng 2 vộctơ: 
• Phộp nhõn 1 số với vộctơ ( phộp nhõn vụ hướng): 
∅
_ℝℝ
V V V (Phép cộng khép kín) 
 (x, y) x y
ì →
+֏
V V (Phép nhân vô h−ớng khép kín) 
( , x) x
ì →
α α
ℝ
֏

 Hai phép toán trên thỏa mãn 8 tiên đề sau: 
x, y, z V; ,∀ ∈ ∀α β ∈ ℝ
( )
+ + = + +
+ = +
θ ∈ θ + =
θ
∀ ∈ ∃ − ∈ + − = θ
−
1) C ộng kết hợp: (x y) z x (y z ) 
2) C ộng giao hoán: x y y x
3) Tồn tại phần tử V sao cho: x x. 
Phần tử đ−ợc gọi là phần tử trung hòa.
4) V ới x V , x V sao cho: x ( x ) .
Phần tử x đ−ợc gọi là
α + = α + α
α + β = α + β
αβ = α β
=
 phần tử đối của x.
5) (x y) x y
6) ( )x x x
7) ( )x ( x )
8) T iên đề U nita: 1 .x x
Mỗi phần tử của V được gọi là một véctơ. Mỗi phần tử trong được 
gọi là vô hướng. 
ℝ
VD1. 
{ }n 1 2 n i
1 1 2 2 n n
1 2 n 1 2 n
Tập gồm tất cả các bộ n số thực: (x ,x ,...,x ) x ;i 1,n
là không gian véctơ trên với 
 Phép cộng 2 véctơ : x y (x y ,x y ,...,x y )
với x (x ,x ,...,x ); y (y ,y ,...,y )
 Phép nhân vô h−ớn
= ∈ =
+ = + + +
= =
ℝ ℝ
ℝ
i
i 1 2 n
1 2 n
g: x ( x , x ,..., x )
(0,0,...,0); x ( x , x ,..., x )
α = α α α
⇒θ= − = − − −
VD2. Ký hiệu: R2 là tập hợp tất cả các véctơ tự do trong mặt phẳng 
với phép cộng véctơ và phép nhân 1 số thực với véctơ được định nghĩa 
như ở phổ thông. Khi đó R2 là không gian véctơ trên ℝ
0; véctơ đối của x là x⇒ θ= −
  
Tương tự: R3 là tất cả các véctơ tự do trong không gian với phép cộng 
và nhân vô hướng như trên cũng là không gian véctơ trên ℝ
VD3. Ký hiệu: Pn[x] là tập tất cả các đa thức với hệ số thực có bậc 
không quá n (n ), tức: 
với phép cộng 2 đa thức và phép nhân 1 số với đa thức thông thường. 
Khi đó Pn[x] là không gian véctơ trên 
 VD4. Ký hiệu: là tập tất cả các ma trận cỡ mìn trên với 
phép toán cộng 2 ma trận và nhân 1 số với ma trận. Khi đó 
là không gian véctơ trên 
∗∈ℕ
[ ] { }2 nn o 1 2 n iP x a a x a x ... a x a ; i 0, n= + + + + ∈ =ℝ
ℝ
2 n
2 n
o 1 2 n
 0 0 .x 0 .x ... 0 .x
 p (x ) a a x a x ... a x
⇒ θ = + + + +
− = − − − − −
( )m nM ì ℝ ℝ
( )m nM ì ℝ
ℝ
 1.2. Cỏc tớnh chất. 
Định lý. Trong khụng gian vộctơ V ta cú: 

 Vộctơ là duy nhất 

 Vộctơ đối của vộctơ là duy nhất 

 ta cú 

 ta cú 

 ta cú 

 Với ta cú 
Định nghĩa. 
θ
x V∈
x V∀ ∈ 0.x = θ
x V∀ ∈ ( )1 .x x− = −
k∀ ∈ ℝ k.θ = θ
x V , k∈ ∈ ℝ
k 0
kx
x
 =
= θ ⇔
 = θ
( )x, y V : x y x y∀ ∈ − = + −
Đ2. SỰ ĐỘC LẬP TUYẾN TÍNH VÀ PHỤ THUỘC 
TUYẾN TÍNH 
2.1. Định nghĩa. Cho không gian véctơ V và hệ véctơ a1, a2,..., an V ∈
=
= λ = λ + λ + + λ ∈ λ λ λ ∈
=
∑
i
ℝ
n
i i 1 1 2 2 n n 1 2 n
i 1
i
 Một của hệ véctơ đã cho là 1 tổng có dạng:
x a a a ... a V, tr
tổ hợp tuyến tính (thtt)
biểu thị tuyến t
ong đó: , ,...,
Khi đó ta nói x quaính các véctơ a , i 1, n
Nh− vậy, véct
{ }
θ
λ λ λ ∈
θ λ + λ + + λ
i
ℝ
1 2 n
1 2 n
1 1 2 2 n n
ơ là thtt của mọi hệ véctơ.
 Hệ véctơ a ,a ,..., a đ−ợc gọi là 
 nếu tồn tại các số , ,..., không đồng thời bằng 0 sao
 cho thtt của hệ bằng tức 
phụ thuộc t
a a
uyến tính (pt
...
tt
a
)
( )
{ }
= θ
λ + λ + + λ = θ
λ = ∀ =
i 1 2 n
1 1 2 2 n n
i
.
 Hệ véctơ a ,a ,...,a đ−ợc gọi là 
 nếu nó không pttt, tức là từ a
độc lập 
a ... a
suy ra 
tuyến tính 
0; i
(đltt)
1, n
VD 1. 
= =
=− + = − − − + =
=
ℝ
31) Trong : x (1,2,3); y (4,5,6)
Ta có: z 2x 3y ( 2, 4, 6) (12,15,18) (10,11,12)
Khi đó z (10,11,12) là thtt của các véctơ x và y
= − ∈ℝ3 z (7, 3,0)2) Vộctơ cú phải là thtt của hệ hai vộctơ 
 khụng ? = = −x (1,1,0); y (1, 1,0)
{ }
( ) ( )
= − =
λ + λ =λ +λ =θ⇔ λ −λ + λ λ = ⇔
−λ + λ =
λ =λ =
= ≠
−
ℝ
2
1 2
1 2 1 1 2 2
1 2
1 2
Trong : x (1, 1); y (2,3). Hệ x,y đltt vì:
2 0
Xét x y , 2 ,3 (0,0)
3 0
Giải hệ suy ra 0 (hoặc vì hệ ph−ơng trình tuyến tính thuần 
1 2
nhất có 5 0 nên hệ chỉ có 
1 3
nghiệm tầm th−ờng).
VD 2. 
{ }
= − = =
−λ + λ =λ +λ +λ =θ ∗ ⇔ λ + λ =
 λ +λ + λ =
−
ℝ
3
1 2
1 2 3 1 3
1 2 3
 Trong : x ( 1,3,2); y (2,0,1); z (0,6,5).
2 0
Hệ x,y,z pttt vì: Xét x y z ;( ) 3 6 0 
2 5 0
1 2 0
Đây là hệ ph−ơng trình tuyến tính thuần nhất có 3 0 6 =
λ λ λ
∗
1 2 3
0 
2 1 5
nên hệ có nghiệm không tầm th−ờng, tức tồn tại các số , ,
không đồng thời bằng 0 để ( ) đúng. Vậy hệ pttt. 
2.2. Định lý. Hệ véctơ a1, a2,..., an trong không gian véctơ V là pttt khi 
và chỉ khi có một trong các véctơ của hệ là thtt của các véctơ còn lại. 
VD 3.
2.3. Hệ quả. 
 Mọi hệ chứa véctơ không đều pttt 

 Nếu có một hệ con của hệ pttt thì hệ đã cho cũng pttt 
 Như vậy, nếu hệ đltt thì mọi hệ con của hệ cũng đltt 
VD. Xét VD.1) ở trên thì hệ {x,y,z} pttt vì z = -2x +3y. 
Nhưng hệ {x,y} đltt vì: 
⇒
1 2
1 2 1 2 1 2
1 2
 4 0
Xét x y 2 5 0 0
3 6 0
 λ + λ =λ +λ =θ⇔ λ + λ = ⇒λ =λ =
 λ + λ =
Đ3. CƠ SỞ VÀ SỐ CHIỀU CỦA KHễNG GIAN VẫCTƠ 
3.1. Định ngh ... ệ véctơ E = {e1, e2,...,en} được gọi là cơ sở 
của V nếu 

 Hệ E đltt. 

 Hệ E là hệ sinh (hay tập sinh) của V, tức với V thì x là thtt của 
hệ E, nghĩa là 
Khi đó ta cũng nói E sinh ra V. 
Bộ số được gọi là tọa độ của véctơ x đối với cơ sở E và 
ký hiệu là 
x∀ ∈
i
1 1 n n
tồ n tạ i các số x , i 1, n sao cho 
x x e ... x e
∈ =
= + +
ℝ
∈ℝn1 2 n(x,x ,...,x )
E 1 2 nx (x ,x ,...,x ) =
Bổ đề. Với mỗi véctơ V thì tọa độ đối với một cơ sở E là duy nhất 
Định lý. 
x ∈
E 1 n E 1 n
E 1 1 n n
E 1 n
 Nếu x (x ,...,x ) và y (y ,..., y ) thì
 (x y) (x y ,...,x y )
 ( x) ( x ,..., x ); 
= =
+ = + +
λ = λ λ λ ∈
i
i ℝ
VD. 
( ) ( )
( )
2
1 2 1 2
2 2
1 1 2 2 1 2
1 2 1 2
1) Trong : Xét e (1,0); e (0,1). Hệ E {e ,e } là một cơ sở 
của và đ−ợc gọi là cơ sở chính tắc của . Thật vậy:
 E đltt vì: Xét e e ,0 0, (0,0)
( , ) 0,0 0.
 E là hệ sinh
= = =
λ +λ =θ⇔ λ + λ =
⇔ λ λ = ⇒λ =λ =
ℝ
ℝ ℝ
i
i
2
1 2 1 2 1 1 2 2
 vì: x ta có
x (x ;x ) x (1,0) x (0,1) x e x e . Vậy x là một thtt của E.
∀ ∈
= = + = +
ℝ
( ) ( )
2
1 2
1 1 2 2 1 1 2
1
1 2
1 2
2
1 2
1
2) Trong : Xét hệ F {e (1, 1); e (0,1). Ta có
 Hệ F đltt vì: Xét e e , 0, (0,0)
0
0.
0
 Hệ F là hệ sinh vì: Lấy bất kỳ x (x ;x ) , tìm a, b sao cho
x ae b
= = − =
λ +λ =θ⇔ λ −λ + λ =
λ =⇔ ⇒λ =λ =
−λ +λ =
= ∈
= +
ℝ
i
i ℝ
2 1 2
1 1
1 1 1 2 2
2 1 2
2
e (x ;x ) a(1, 1) b(0,1) (a,b a)
a x a x
x x e (x x )e
b a x b x x
x là một thtt của F.
Vậy F là một cơ sở của .
⇔ = − + = −
 = =  ⇔ ⇒ ⇒ = + + 
 − = = +  
⇒
ℝ
n
1
2
3) Hoàn toàn t−ơng tự, trong : Xét hệ véctơ e (1,0,...,0)
 e (0,1,...,0)
=
=
ℝ
n
n
1 2 n
 ....................... 
 e (0,0,...,1)
Hệ E {e ,e ,...,e } là một cơ sở của và đ−ợc gọi là 
=
⇒ = ℝ
n
cơ sở
chính tắc của .
ℝ
Nhận xét. Một không gian véctơ có thể có nhiều cơ sở. 
3.2. Hạng của hệ véctơ 
Trong không gian véctơ V cho hệ véctơ S = {a1,a2, ... ,am}. Giả sử 
không gian véctơ V có cơ sở E = {e1,e2, ... ,en}. Biểu diễn mỗi véctơ 
của hệ S theo cơ sở E ta có 
1 11 1 12 2 1n n
2 21 1 22 2 2n n
m m1 1 m2 2 mn n
a a e a e ... a e
a a e a e ... a e
............................................
a a e a e ... a e
= + + +
= + + +
= + + +
      =      
⋮ ⋮ ⋱ ⋮
11 12 1n
21 22 2n
m1 m2 mn
a a ... a
a a ... a
Ma trận A 
a a ... a
được gọi là ma trận tọa độ 
của hệ véctơ S đối với cơ sở E 
Định nghĩa . Hạng của hệ véctơ S (ký hiệu: r(S)) là số r sao cho: 

 Có r véctơ của S đltt. 

 Mọi véctơ của hệ S đều là thtt của r véctơ đó. 
Nhận xét. 

 Hạng của hệ véctơ S là số r khi và chỉ khi tồn tại r véctơ của hệ S đltt 
và mọi hệ gồm (r + 1) véctơ của S đều pttt. 

 Hạng của hệ véctơ S là số tối đa các véctơ đltt của hệ. 

 Có thể xét sự đltt hay pttt của hệ S gồm m véctơ thông qua xét hạng 
của hệ, nếu r(S) = m thì hệ S đltt, nếu r(S) < m thì hệ S pttt 
Định lý 1. Nếu V là không gian véctơ có một cơ sở hữu hạn thì hạng 
của một hệ véctơ trong V bằng hạng của ma trận tọa độ của hệ đó đối 
với một cơ sở bất kỳ của V. 
Nhận xét. Xột hệ S cú m vộctơ. Khi đú: 
• Nếu r(A) = m thì hệ S đltt. 
• Nếu r(A) < m thì hệ S pttt 
VD. Tìm hạng của hệ véctơ S = {a1, a2, a3, a4} với a1 = (1,3,0), 
a2 = (0,2,4), a3 = (1,5,4), a4 = (1,1,-4). 
Định lý 2. Nếu trong không gian véctơ V có một cơ sở gồm n véctơ 
thì mọi hệ gồm (n+1) véctơ trong V đều pttt. 
Hệ quả. Nếu không gian véctơ V có một cơ sở gồm n véctơ thì số 
véctơ của một cơ sở bất kỳ của V cũng bằng n. 
3⊂ℝ
3.3. Định nghĩa. Một không gian véctơ V được gọi là không gian 
véctơ hữu hạn chiều nếu tồn tại một cơ sở trong V gồm một số hữu 
hạn véctơ. Số véctơ trong cơ sở của V gọi là số chiều của V và ký 
hiệu là: dimV 
VD. 1) là không gian véctơ hữu hạn chiều, dim = n 
2) Trong Pn[x]: Hệ véctơ {1, x, x
2,..., xn} là cơ sở chính tắc của Pn[x], 
do đú Pn[x] là khụng gian vộctơ hữu hạn chiều, dimPn[x] = n + 1. 
3) Trong không gian véctơ : 
Xét hệ véctơ {eij} mà eij, là ma trận cỡ mìn mà 
phần tử ở vị trí (i,j) bằng 1 và các phần tử ở vị trí khác bằng 0, tức 
n
ℝ
n
ℝ
m nM ( )ì ℝ
1 i m, 1 j n≤ ≤ ≤ ≤
                           = = =                             
⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮
11 12 mn
1 0 ... 0 0 1 ... 0 0 0 ... 0
0 0 ... 0 0 0 ... 0 0 0 ... 0
e ; e ;...; e
0 0 ... 0 0 0 ... 0 0 0 ... 1
Hệ E = {e11, e12,..., emn} là cơ sở chính tắc của . Vậy 
là không gian véctơ hữu hạn chiều, dim = m.n 
m nM ( )ì ℝ m nM ( )ì ℝ
m nM ( )ì ℝ
Định lý. Nếu V là không gian véctơ n chiều thì mọi hệ gồm n véctơ 
đltt trong V đều là cơ sở của V. 
VD. Hệ 
cú là cơ sở của khụng? 
( ) ( ) ( ){ }= = = − =1 2 3S a 1,1, 2 , a 1, 1, 0 , a 2 , 0 ,1
ℝ
3
3.4. Khụng gian vộctơ con 
3.4.1. Định nghĩa. 
Cho không gian véctơ V. Tập con được gọi là không gian 
véctơ con (hay không gian con) của V nếu A cũng là không gian véctơ 
với hai phép toán trên V. 
3.4.2. Định lý. (Tiêu chuẩn không gian con) 
Cho không gian véctơ V. Tập con là không gian véctơ con 
của V khi và chỉ khi: 
A V∅≠ ⊂
A V∅≠ ⊂
 a,b A thì a b A
 , a A thì a A
 ∀ ∈ + ∈
 ∀α ∈ ∀ ∈ α ∈
i
i ℝ
VD1. 
Cho V là một không gian véctơ. Khi đó 

 V là không gian con của V. 

 Tập là không gian con của V. 
Hai không gian con và V là hai không gian con tầm thường của V 
VD2. 
Cho tập hợp . 
Chứng minh rằng A là không gian véctơ con của 
 VD3. 
Chứng minh rằng tập hợp là không 
 gian con của không gian véctơ 
{ }Vθ
{ }Vθ
{ }31 2 3 1 2 3A x (x ,x ,x ) 2x x x 0= = ∈ + + =ℝ
3
ℝ
0 a
A a,b
b 0
     = ∈      
ℝ
2M ( )ℝ
3.4.3. Không gian con sinh bởi hệ véctơ. 
Định nghĩa 1. Cho không gian véctơ V và S = {a1, a2, ... , an} là một 
hệ véctơ của V. Ta gọi tập tất cả các thtt của hệ S là bao tuyến tính 
của S, ký hiệu là spanS. Như vậy 
Định lý 1. SpanS là một không gian con của V 
Định nghĩa 2. SpanS được gọi là không gian véctơ con sinh bởi hệ 
véctơ S và ký hiệu là = = SpanS 
{ }1 1 2 2 n n i iSpanS a a ... a ;a V= λ +λ + +λ λ ∈ ∈ℝ
VD1. Xét A là không gian con của như trong VD2 trong mục 4.2. 
Ta có: 
Do đó: 
Suy ra A = với S = {(1,0,-2); (0,1,-1)}. Vậy S là hệ sinh của A. 
Kiểm tra thấy S đltt. Do đó S là cơ sở của A. Vậy dimA = 2 
Định lý 2. Nếu S là không gian véctơ con của không gian véctơ hữu 
hạn chiều V thì S là không gian véctơ hữu hạn chiều và dimS ≤ dimV. 
Dấu “=“ xảy ra khi và chỉ khi S = V. 
Mệnh đề. Nếu {e1, ... , ek} là cơ sở của không gian véctơ con S của 
không gian véctơ n chiều V thì tồn tại các véctơ ek+1, ... , en thuộc V sao 
cho {e1, ... , ek, ek+1, ... , en } là cơ sở của V. 
3
ℝ
( )1 2 3 1 2 3 3 1 2x x ,x ,x A 2x x x 0 x 2x x∀ = ∈ ⇔ + + = ⇔ =− −
( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 2x x ,x , 2x x x 1,0, 2 x 0,1, 1= − − = − + −
Định lý 3. 
1) là không gian con nhỏ nhất chứa S. 
2) dim = r(S). 
Nhận xét. Nếu dim = k thì mọi hệ gồm k véctơ đltt của S đều 
là cơ sở của 
VD2. Xét hệ véctơ S trong VD mục 3.2. Tìm dim và một cơ 
sở của 
3.5. Không gian nghiệm của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất 
Xét hệ phương trình tuyến tính thuần nhất m phương trình, n ẩn: 
 AX = O (1) 
Ký hiệu: Tập hợp nghiệm của hệ (1) là N 
Định lý 1. N là một không gian con của , nó được gọi là không gian 
nghiệm của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất (1) và dimN = n – r; 
với r = r(A) 
Định nghĩa. Mỗi cơ sở của không gian nghiệm của hệ phương trình 
tuyến tính thuần nhất (1) được gọi là một hệ nghiệm cơ bản của hệ 
phương trình đó. 
n
ℝ
Nếu là một hệ nghiệm cơ bản của hệ (1) thì 
 được gọi là 
một nghiệm tổng quát của (1). Do đó 
1 1 2 2 n r n r ic c ... c ; với c ; i 1,n r− −β + β + + β ∈ = −ℝ
Nhận xét. Nếu (1) là hệ phương tình Cramer thì hệ chỉ có duy nhất 
nghiệm tầm thường. Tức N = {(0,0,...,0)}, do đó dimN = 0 
{ }1 2 n r, ,..., −β β β
{ }1 1 2 2 n r n r iN c c ... c ; với c ; i 1,n r− −= β + β + + β ∈ = −ℝ
VD1. Tìm một hệ nghiệm cơ bản của hệ phương trình sau và giải 
hệ phương trình đó 
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
 x 7x 8x 9x 0
2x 3x 3x 2x 0
5x x 2x 5x 0
3x 13x 14x 13x 0
 + − + = − + − =
 + − + = − + − =
Dựa vào mối liên hệ giữa nghiệm của hệ phương trình tuyến tính 
tổng quát và nghiệm của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất 
tương ứng ta suy ra: Nếu biết một nghiệm nào đó của hệ phương 
trình tuyến tính tổng quát và tập hợp N các nghiệm của hệ phương 
trình tuyến tính thuần nhất tương ứng thì ta suy ra tập tất cả các 
nghiệm của hệ phương trình tuyến tính tổng quát là: 
λ
{ }N u u Nλ+ = λ+ ∈
VD2. Giải hệ phương trình sau: 
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
 x 7x 8x 9x 3
2x 3x 3x 2x 5
5x x 2x 5x 13
3x 13x 14x 13x 7
 + − + = − + − =
 + − + = − + − =
3.6. Đổi cơ sở và phép biến đổi tọa độ. 
Cho V là không gian véctơ n chiều có các cơ sở là 
Giả sử biểu diễn các phần tử của cơ sở E’ qua cơ sở E ta được: 
{ } { }1 2 n 1 2 nE e , e , . . . , e ; E e , e , . . . , e′ ′ ′ ′= =
1 1 1 1 2 1 2 n 1 n
2 1 2 1 2 2 2 n 2 n
n 1 n 1 2 n 2 n n n
e a e a e .. . a e
e a e a e .. . a e
 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
e a e a e .. . a e 
′ = + + +
′ = + + +
′ = + + +
 Ma trận 
      =      
⋮ ⋮ ⋱ ⋮
11 12 1n
21 22 2n
n1 n2 nn
a a ... a
a a ... a
A 
a a ... a
được gọi là ma trận chuyển cơ sở từ cơ 
sở E sang cơ sở E’ và ký hiệu là 
E E'A →
Khi đó A-1 được gọi là ma trận chuyển từ cơ sở E’ sang cơ sở E. 
Cho V. Giả sử 
Khi đó ta có công thức chuyển từ tọa độ sang tọa độ 
 là 
x ∈ ( ) ( )E 1 2 n 1 2 nEx x , x ,..., x và x x , x ,..., x′ ′ ′ ′= =
( )1 2 nx , x , ..., x′ ′ ′
( )1 2 nx , x ,..., x [ ] [ ]E Ex A x ′=
[ ] [ ]
[ ] [ ] [ ]
E E
1 1
TT2 2
1 2 n 1 2 nE E
n n
Trong đó: x và x là các ma trận cột tọa độ
x x
x x
x x x ... x ; x x x ... x
x x
′
′
   ′
  
   ′
    ′ ′ ′= = = =    
  
   ′      
⋮ ⋮
Vì ma trận chuyển từ cơ sở E’ sang cơ sở E là A-1 nên công thức 
chuyển từ tọa độ sang tọa độ là 
( )1 2 nx , x , ..., x ( )1 2 nx , x ,..., x′ ′ ′
[ ] [ ]1
E E
x A x−
′
=
Nhận xét. Cho là các cơ sở 
của không gian véctơ n chiều V 
Nếu A là ma trận chuyển từ cơ sở E sang cơ sở E’ 
 B là ma trận chuyển từ cơ sở E’ sang cơ sở E’’ 
thì AB là ma trận chuyển từ cơ sở E sang cơ sở E’’ 
VD1. Trong , cho các cơ sở 
a) Tìm ma trận chuyển cơ sở 
b) Tìm nếu 
VD2. Trong , cho các cơ sở 
Tìm biết 
{ } { } { }i i iE e , E e , E e′ ′ ′′ ′′= = =
2
ℝ { }
{ }
1 2
1 2
E e (1, 0); e (0,1) 
E e (1,1); e (2,1)
= = =
′ ′ ′= = =
E E'A →
[ ]
E
x
′ E
x (7,2)=
2
ℝ { }
{ }
1 2
1 2
E e (1, 0); e (0, 1) 
E e (2, 1); e (1,1)
= = = −
′ ′ ′= = − =
[ ]
E
x Ex (1,2)′ =
Đ4. KHễNG GIAN EUCLIDE 
4.1. Định nghĩa. Cho không gian véctơ V trên , lấy bất kỳ x, y V. 
Tích vô hướng của x và y là một số thực, ký hiệu là thỏa mãn 
các tính chất sau: 
▪ Không gian véctơ V hữu hạn chiều trên cùng với một tích vô 
hướng đã cho trên V đợc gọi là một không gian Euclide. 
VD. Không gian véctơ là không gian Euclide với tích vô hướng 
thông thường (tích vô hướng Euclide) tương tự như trong và 
ℝ ∈
1) x, x 0 và x, x 0 x
2) x, y y, x
3) x y, z x, z y, z ; z V
4) x, y x, y ;
≥ = ⇔ = θ
=
+ = + ∀ ∈
λ = λ ∀λ ∈ ℝ
ℝ
n
ℝ
2
ℝ
3
ℝ
( ) ( )1 n 1 n 1 1 n nx, y x , ..., x , y , ..., y x y ... x y= = + +
4.2. Độ dài của véctơ 
Định nghĩa. Cho không gian Euclide V và x V. Độ dài (hay chuẩn) 
của véctơ x, ký hiệu là số thực được xác định bởi 

 Nếu = 1 thì x được gọi là véctơ đơn vị. 

 d(x,y) = được gọi là khoảng cách giữa x và y. 

 Việc chia một véctơ khác cho độ dài của nó được gọi là chuẩn 
hóa véctơ đó. Khi đó ta sẽ được véctơ đơn vị. Tức 
∈
x x,x=x
x
x y−
θ
x
y y 1
x
= ⇒ =
VD. Trong không gian Euclide , cho ta có 
 gọi là độ dài Euclide của x 
2 2
1 nx x, x x ... x= = + +
n
ℝ ( )1 nx x ,..., x=
n∈ℝ
≥ = ⇔ = θ
λ = λ ∀λ ∈
+ ≤ +
≤
i
i ℝ
i
i
 x 0 và x 0 x 
 x x ;
 x y x y ; (bất đẳng thức tam giác)
 Bất đẳng thức Cauchy-Schwartz: x, y x y 
Tính chất. 
VD. 
Trong không gian Euclide với tích vô hướng thông thường, bất 
đẳng thức C-S là: 
n
ℝ
n n n
2 2
i i i i
i 1 i 1 i 1
x y x y
= = =
≤∑ ∑ ∑
4.3. Véctơ trực giao 
Định nghĩa. Trong một không gian Euclide V, hai véctơ x, y 
được gọi là trực giao (hay vuông góc) nếu và ký hiệu 
VD. Trong với tớch vụ hướng Euclide cho 
Khi đú: 
Vậy x, y là hai vộctơ trực giao 
Nhận xét. Véctơ được coi là trực giao với mọi véctơ của V 
≠θ
x,y 0= x y⊥
θ
2
ℝ
( ) ( )= − =x 2, 1 ,y 2,4
( )= + − =x,y 2.2 1 .4 0
4.4. Hệ véctơ trực giao, trực chuẩn 
Định nghĩa 1. 

 Một hệ véctơ trong không gian Euclide được gọi là hệ trực giao 
nếu các véctơ của hệ trực giao từng đôi một. 

 Một hệ véctơ trong không gian Euclide được gọi là hệ trực chuẩn 
nếu hệ này trực giao và mọi véctơ của hệ đều có chuẩn bằng 1. 
VD1. Trong với tích vô hướng thông thường 
3
ℝ
( ) ( ) ( ){ } 1,1,0 ; 1,1,2 ; 1, 1,1 : hệ véctơ trực giao
1 1 1 1 2 1 1 1
 , ,0 ; , , ; , , : hệ véctơ trực chuẩn
2 2 6 6 6 3 3 3
− −
            − −                   
i
i
Định lý. Trong không gian Euclide nếu u1, u2, ...,uk là một hệ véctơ 
trực giao và các véctơ ui thì hệ véctơ này đltt. 
Nhận xét. Trong một không gian Euclide n chiều, mọi hệ gồm n véctơ 
khác trực giao đều là một cơ sở của không gian đó. 
Định nghĩa 2. Cơ sở trong Nhận xét trên được gọi là cơ sở trực giao 
của không gian Euclide. Nếu độ dài của mỗi véctơ trong cơ sở trực giao 
bằng 1 thì ta gọi nó là một cơ sở trực chuẩn của không gian Euclide. 
VD2. Hệ các véctơ trong VD1 cho ta một cơ sở trực giao và một cơ sở 
trực chuẩn trong 
4.5. Quá trình trực giao hóa Gram - Schmidt 
Dùng để xây dựng cơ sở trực giao và cơ sở trực chuẩn của không gian 
Euclide từ một cơ sở cho trước. 
,i 1,k≠θ =
θ
3
ℝ
Thuật toán. 
B1. Chọn {e1, ...,en} là một cơ sở bất kỳ của không gian Euclide n 
chiều V. 
B2. Xây dựng cơ sở trực giao {u1, ...,un} của V như sau: 
Đặt 1 1
2 1
2 2 12
1
3 1 3 2
3 3 1 22 2
1 2
n 1
n i
n n i2
i 1 i
u e
e ,u
u e u
u
e ,u e ,u
u e u u
u u
 ...............
e ,u
u e u
u
−
=
=
= −
= − −
= −∑
B3. Xây dựng cơ sở trực chuẩn {v1, ...,vn} của V bằng việc chuẩn hóa 
các véctơ ở B2. Tức: 
VD1. Trong không gian Euclide , hãy trực chuẩn hóa cơ sở 
 E = {e1 = (1,-1,0); e2 = (0,1,-1); e3 = (1,1,-1)} 
VD2. Hóy tỡm một cơ sở trực chuẩn của khụng gian con của sau 
1 2 n
1 2 n i
1 2 n
u u u
v ,v ,...,v v 1; i 1,n
u u u
= = = ⇒ = ∀ =
3
ℝ
3
ℝ
( ){ }= ∈ = +ℝ31 2 3 1 2 3W x ,x ,x x x 2x
 Định lý 1. Mọi không gian Euclide n chiều đều tồn tại cơ sở trực chuẩn 
Định lý 2. Nếu E = {e1, ...,en} là cơ sở trực chuẩn của không gian 
Euclide n chiều V thì mọi x , x có thể biểu diễn duy nhất dưới dạng 
VD 3. Xét cơ sở trực chuẩn {v1, v2, v3} của ở VD1. Hãy biểu 
diễn x = (1,2,3) thành một thtt của các véctơ của cơ sở trực chuẩn đó 
V∈
n
i i
i 1
x x,e e
=
=∑
3
ℝ