Bài giảng Đại số tuyến tính - Chương 1: Ma trận, định thức

( 45 tiết ) 
Chương 1 : Ma trận – Định thức 
Chương 2 : Hệ phương trình tuyến tính 
Chương 3 : Không gian véctơ 
Chương 4 :Chéo hóa ma trận – Dạng toàn phương 
TÀI LIỆU THAM KHẢO 
[1] Toán học cao cấp, tập 1, Đại số và hình học giải tích, 
Nguyễn Đình Trí (chủ biên), NXB Giáo dục, 2009 
[2] Toán cao cấp, Đại số tuyến tính, Đỗ Công Khanh (chủ 
biên), NXB ĐHQG TP.HCM, 2010 
[3] Giáo trình Toán cao cấp A3, TS. Đỗ Văn Nhơn, NXB 
ĐHQG TP.HCM, 2009 
[4] Jean-Marie Monier, Giáo trình Toán, Đại số 1-2, NXB 
Giáo dục 2001 
Chương 1. Ma trận – Định thức 
§1. MA TRẬN 
1.1. Các định nghĩa 
Định nghĩa 1. Cho tập M , m, n . Ta gọi một ma trận cỡ 
m×n trên M là một bảng hình chữ nhật gồm m.n phần tử của M được 
xếp thành m hàng và n cột 
 hoặc 
≠ ∅ *∈ℕ
11 12 1n
21 22 2n
m1 m2 mn
a a a
a a a
A
a a a
 
 
 
=
 
 
 
⋮ ⋮  ⋮
11 12 1n
21 22 2n
m1 m2 mn
a a a
a a a
A
a a a
 
 
 
=
 
 
 
⋮ ⋮  ⋮

 aij , (1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n) được gọi là phần tử ở hàng thứ i và cột 
thứ j của ma trận A ( hay phần tử ở vị trí (i, j) của ma trận A ). Ta gọi 
i là chỉ số hàng và j là chỉ số cột. 

 Để đơn giản, ma trận A còn được viết dưới dạng A = [aij]m×n hoặc 
A = (aij)m×n 

 Hai ma trận A và B được gọi là bằng nhau nếu chúng cùng cỡ và 
aij = bij , i, j. Khi đó ta ký hiệu A = B. 
∀

 Ma trận cỡ 1×n được gọi là ma trận hàng ( a11 a12 ... a1n ) 

 Ma trận cỡ m×1 được gọi là ma trận cột 
11
21
m1
a
a
a
 
 
 
 
 
 
⋮
11 12 1n
21 22 2n
n1 n2 nn
a a a
a a a
A
a a a
 
 
 
=
 
 
 
⋮ ⋮  ⋮
Đường chéo chứa các phần tử 
a11, a22, ... , ann được gọi là đường 
chéo chính của A, đường chéo 
còn lại được gọi là đường chéo 
phụ.

 Khi m = n thì A là ma trận vuông cỡ n×n, ta gọi nó là ma trận 
vuông cấp n. Ký hiệu là A = [aij]n 
Chú ý. Từ nay về sau ta chỉ xét các ma trận thực, tức là các ma 
 trận có mọi phần tử ija .∈ℝ

 Ma trận mà tất cả các phần tử đều bằng 0 được gọi là ma trận không. 
Ký hiệu là O. 
Định nghĩa 2. Cho ma trận vuông cấp n: A = (aij)n . Khi đó 

 A được gọi là ma trận chéo nếu các phần tử nằm ngoài đường 
chéo chính đều bằng 0, nghĩa là aij = 0, i j∀ ≠
11
22
nn
a 0 0
0 a 0
A
0 0 a
 
 
 
=
 
 
 
⋮ ⋮  ⋮

 Ma trận chéo cấp n mà tất cả các phần tử trên đường chéo chính 
đều bằng 1 được gọi là ma trận đơn vị cấp n. Ký hiệu là In ( hoặc I ) 

 A được gọi là ma trận tam giác trên ( dưới ) nếu tất cả các phần 
tử nằm phía dưới ( trên ) đường chéo chính đều bằng 0, nghĩa là 
aij = 0, i > j, ( i < j) 
n
1 0 0
0 1 0
I
0 0 1
 
 
 =
 
 
 
⋮ ⋮  ⋮
11 12 1n
22 2n
nn
a a a
0 a a
A
0 0 a
 
 
 
=
 
 
 
⋮ ⋮  ⋮
11
21 22
n1 n2 nn
a 0 0
a a 0
A
a a a
 
 
 
=
 
 
 
⋮ ⋮  ⋮
∀∀
1.2. Các phép toán ma trận 
1.2.1. Phép cộng ma trận 
1. Định nghĩa. Cho A = [aij]m×n, B = [bij]m×n. Tổng A + B là ma trận 
C = [cij]m×n, trong đó cij = aij + bij, 
VD. 
2. Tính chất. 
i 1,m; j 1,n∀ = =
1 1 2 1 1 4 2 0 6
2 0 1 3 2 1 5 2 0
−     
+ =     
−     

 A + B = B + A 

 A + O = O + A = A 

 (A + B) + C = A + (B + C) 

 Ký hiệu: – A = [– aij]m×n là ma trận đối của ma trận A. 
 Khi đó A + (– A) = (– A) + A = O
Hiệu của hai ma trận: A – B = A + (– B) 
1.2.2. Phép nhân một số với một ma trận 
1. Định nghĩa. Cho A = [aij]m×n và . Tích λA là ma trận 
B = [bij]m×n, trong đó λaij = bij, 
VD. 
2. Tính chất. 
1 4 0 5 20 0
5 
3 2 1 15 10 5
− −   
=   
− −   
λ∈ℝ
i 1,m; j 1,n∀ = =

 λ(A + B) = λA + λB 

 (λ + β)A = λA + βA 

 λ(βA) = (λβ)A 

 1.A = A ; 0.A = O 
1.2.3. Phép nhân hai ma trận 
1. Định nghĩa. Cho A = [aij]m×n và B = [bij]n×p. Điều kiện để thực 
hiện được phép nhân AB là số cột của A phải bằng số hàng của B. 
Khi đó tích AB là ma trận C = [cij]m×p, trong đó 
 Nghĩa là để có phần tử đứng ở hàng i cột j trong ma trận tích, ta 
lấy lần lượt từng phần tử đứng ở hàng i trong ma trận A nhân với 
từng phần tử tương ứng đứng ở cột j trong ma trận B rồi cộng lại. 
n
ij ik kj i1 1 j i 2 2 j in nj
k 1
c a b a b a b ... a b ; i 1, m; j 1, p
=
= = + + + = =∑
4 0 1
1 2 5 9 12 11
A ; B 0 1 1 AB . Không có tích BA
0 1 1 1 1 1
1 2 2
 
−    
= = − ⇒ =    
− −    
− 
▪ Tích của hai ma trận nói chung không giao hoán: AB ≠ BA. Chẳng hạn 
1 0 1 2 1 2 3 6
A ; B AB ; BA AB BA
2 3 3 0 11 4 3 0
− − −       
= = ⇒ = = ⇒ ≠       
−       
VD. 
2. Tính chất. Với giả thiết các phép toán thực hiện được, ta có 

 A(B + C) = AB + AC 

 (A + B)C = AC + BC 

 A(BC) = (AB)C 

 λ(AB) = (λA)B = A(λB); 

 A.I = A ; I.B = B ( I là ma trận đơn vị ) 

 A.O = O; O.B = O 
3. Lũy thừa ma trận. Cho A là ma trận vuông cấp m và 
Lũy thừa n của A là ma trận vuông cấp m, ký hiệu An, được 
định nghĩa như sau: Ao = I; A1 = A; A2 = A.A;...; An = An-1.A 
VD. 
λ∈ℝ
∈ℕn .
3
2
3 2
1 1
Cho A . T ính A
0 1
1 2
Ta có: A A.A