Bài giảng Đại số Lớp 12 - Chương 3: Nguyên hàm - Tiết 60: Ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng

Tiết 60 
Ứ NG DỤNG TÍCH PHÂN ĐỂ TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG 
Nhắc lại định lí về mối liên hệ giữa diện tích hình thang cong và tích phân? 
Định lí: Cho hàm số y = f(x) liên tục, không âm trên đoạn [a; b]. Diện tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục Ox, đ ư ờng thẳng x =a, x= b là: 
?1 
Nhóm 4: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số 
y = x 2 – 2x + 1, trục hoành và hai đ ư ờng thẳng x = 1, x = 3. 
Nhóm 1: Tính diện tích hình tròn bán kính R giới hạn bởi đ ư ờng tròn có ph ươ ng trình : x 2 + y 2 = R 2 
Nhóm 2: + Tính diện tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x 2 , trục hoành và hai đ ư ờng thẳng x = 1, x = 2. 
	 + Vẽ đồ thị hàm số y = - x 2 từ đó so sánh diện tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y = - x 2 trục hoành và hai đ ư ờng thẳng x = 1, x = 2 v ớ i kết quả ở trờn . 
Nhóm 3: Tính diện tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x 3 – 3x 2 + 6, trục hoành và hai đ ư ờng thẳng x = 1, x = 3. 
H1 
Thực hiện các bài tập sau: 
Diện tích hình tròn bán kính R là: S = 4S’ 
trong đó S’ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi: đồ thị hàm số 
 và hai đường thẳng x = 0 và x = R. 
Ta có: 
Đặt x = Rsint, dx = Rcostdt. 
x = 0 thì t = 0; x = R thì t = /2 
Vậy S = 4S’ = R 2 
N1 
Quay lại 
Lời giải 
Xét đường tròn có phương trình: x 2 + y 2 = R 2 
x 
y 
N2 
+ Diện tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x 2 , trục Ox và hai đường thẳng x = 1, x = 2 là: 
+ Căn cứ vào hình vẽ nhận thấy: Diện tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y = - x 2 , trục Ox và hai đường thẳng x = 1, x = 2 là: 
S 2 = S 1 = 
y = x 2 
y = - x 2 
Vậy diện tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x) liên tục, âm trên đoạn [a;b], trục Ox và hai đường thẳng x = a, x = b là gì? 
Tiếp tục 
Diện tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x) liên tục, âm trên đoạn [a;b], trục Ox và hai đường thẳng x = a, x = b là: 
Diện tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x 3 – 3x 2 + 6 , trục Ox và hai đường thẳng x = 1, x = 3 là: 
N3 
Quay lại 
N4 
Diện tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x 2 – 2x + 1 , trục Ox và hai đường thẳng x = 1, x = 3 là: 
Quay lại 
x 
y 
Nhận xét: 
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số: y = x 3 – 3x 2 + 6 , y = x 2 - 2x + 1 và hai đường thẳng x = 1, x = 3 là: 
S = S 3 – S 4 
Vậy diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số 
y = f(x), y = g(x) liên tục trên đoạn [a;b] và hai đường thẳng x = a, x = b bằng? 
Tiếp tục 
Từ kết quả của nhóm 3 và nhóm 4, tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số: 
y = x 3 – 3x 2 + 6 , y = x 2 - 2x + 1 và hai đường thẳng x = 1, x = 3 ? 
y = x 3 – 3x 2 + 6 
y = x 2 - 2x + 1 
Một số công thức cần nhớ 
a) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a;b], trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b là: 
b) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = f(x), y = g(x) liên tục trên đoạn [a;b] và hai đường thẳng x = a, x = b 
Quay lại 
2. Một số ví dụ 
Ví dụ 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số 
y = x 3 – 1, trục tung, trục hoành và đường thẳng x = 2. 
Lời giải: 
Đặt f(x) = x 3 – 1. 
Ta có: f(x) ≤ 0 tr ên [0;1] và f(x) ≥ 0 tr ên [1; 2] 
Diện tích hình phẳng cần tìm là: 
y 
x 
y = x 3 - 1 
Ví dụ 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số: f 1 (x) = x 3 – 3x và f 2 (x) = x 
Lời giải: 
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hai hàm số f 1 (x) = x 3 – 3x và f 2 (x) = x là: 
Diện tích hình phẳng cần tìm là: 
x 
y 
f 1 (x) =x 3 – 3x 
f 2 (x) =x 
3. Bài tập vận dụng 
Thực hiện H1 và H2 trong sách giáo khoa! 
H1 : Tìm diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số: y = 4 – x 2 , đường thẳng x = 3, trục tung và trục hoành. 
H2 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường thẳng y = x + 2 và Parabol y = x 2 + x - 2 
H1 : 	 Giải : 
Đặt f(x) = 4 – x 2 , f(x) ≥ 0 tr ên [0; 2] và f(x) ≤ 0 tr ên [2; 3] nên: 
H2 : 	 Giải : 
PT hoành độ giao điểm: x 2 + x - 2 = x + 2 x = -2; x = 2. Vậy: 
Chú ý: + Để khử dấu giá trị tuyệt đối trong công thức: 
• Giải phương trình f(x) – g(x) = 0 trên đoạn [a; b], giả sử pt có các nghiệm c, d (a ≤ c < d ≤ b). 
 Trên từng đoạn [a;c], [c;d], [d;b] thì f(x) – g(x) không đổi dấu. 
 Trên mỗi đoạn đó, chẳng hạn trên đoạn [c; d], ta có: 
Ta thực hiện như sau: 
Củng cố: 
- Ghi nhớ các công thức tính diện tích hình phẳng. 
- Bài tập đề nghị: 
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số: 
 y = x 2 – 4x +3, y = - 2x + 2 và y = 2x – 6. 
y = x 2 - 4x + 3 
y = -2x + 2 
y = 2x - 6 
y 
x