Bài giảng Đại số Lớp 12 - Chương 3: Nguyên hàm - Bài 1: Nguyên hàm

TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG 
CHƯƠNG III: NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG 
SỐ III AN NHƠN 
Toán 12 
Bài toán vật lý 
Ta đã biết bài toán chất điểm chuyển động thẳng có phương trình s=f(t) với f(t) là hàm số có đạo hàm 
Khi đó vận tốc tại thời điểm t là v(t)=f’(t) 
Trong thực tế có khi ta gặp bài toán ngược là biết vận tốc v(t) tìm phương trình chuyển động s=f(t) 
Từ đó ta c ó bài toán : Cho hàm số f(x) xác định trên khoảng (a;b), tìm hàm số F(x) sao cho trên khoảng đó: F’(x)=f(x) 
&1. NGUYÊN HÀM 
Nguyên hàm và tính chất : 
 1. Nguyên hàm : 
 a. Định nghĩa: 
 Hàm số y = f(x) xác định trên K 
Hàm số F(x) gọi là nguyên hàm của 
 f(x) trên K nếu F’(x) = f(x) 
 với mọi x thuộc K 
Hàm số f(x) = 2x có nguyên hàm là nhữnghàm số n ào 
a. F(x) = x 2 
b. F(x) = x 2 + 3 
c . F(x) = x 2 - 4 
d. Tất cả các hàm số trên 
Hãy chọn phương án đúng 
Nhận xét 
Mọi hàm số dạng F(x)=x 2 +C (C là hằng số tùy ý) đều là nguyên hàm của hàm số f(x)=2x Trên R 
Mọi hàm số G(x)=tgx+C (C là hằng số túy ý) đều là nguyên hàm của hàm số 	 
 trên c ác khoảng xác định . 
Tổng quát ta có định lý 
b.Định lý: 
Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng K thì: 
*Với mọi hằng số C, F(x) +C cũng là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng đó. 
*Ngược lại, mọi nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng (a;b) đều có thể viết dưới dạng F(x)+C với C là một hằng số. 
 F(x) + C (C thuéc R) gọi là họ các nguyên hàm của f(x) 
 kí hiệu : 
2.Tính chất của nguyên hàm 
Tính chất 1 : 
Tính chất 2 : 
Tính chất 3 : 
3.Sự tồn tại nguyên hàm 
Định lý 3 : Mọi hàm số f(x) liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K 
 4. Nguyên hàm của một số hàm số thường gặp 
C 
X + C 
Sinx + C 
- Cosx + C 
Tanx + C 
- cotx + C 
VD:Tính nguyên hàm 
Qua bài học ta đã biết 
- Định nghĩa nguyên hàm từ đó biết cách chứng minh 1 hàm số là nguyên hàm của 1 hàm số cho trước 
Tìm họ các nguyên hàm bằng cách tìm 1 nguyên hàm rồi cộng thêm hằng số C 
 VD 2 
 Chứng minh Rằng : 
Ta có : 
 Hàm số là nguyên hàm của hàm số nào sau đây? 
a. 
b. 
c. 
d. 
2. Xác định a để hàm số là  một nguyên hàm của hàm số  trên 
Ta có 
Suy ra : 
- a – 1 = 1 
Vậy a = - 2 
3. Cho và .  Xác định a, b để F(x) là một nguyên  hàm của f(x) trên 
Suy ra : 
GIẢI: 
4. Xác định a, b, c sao cho hàm số F(x)=(ax 2 +bx+c)e -x là một nguyên hàm của hàm số f(x)=(2x 2 -5x+2)e -x trên R 
Hàm số là một nguyên hàm của hàm số nào sau đây? 
a. 
b. 
c. 
d . 
Bài tập Tìm F(x) biết và F(1)=3 
H ư ớng dẫn : 
F(x)=x 2 +C 
Mà F(1)=3 1+C=3 C=2 
Vậy F(x)=x 2 +2 
II.PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM 
1.Phương pháp đổi biến số: 
Định lý 1 : nếu 
 và u = u(x) là hàm số có đạo hàm liên tục thì : 
b.Phương pháp : 
B1: đặt u = u(x) 
B2: tính du = u’(x)dx 
B3: tính 
VD: tính các nguyên hàm sau 
1. 
B1: đặt u = 2x+1 
B2: du = 2dx 
B3: 
VD: tính các nguyên hàm sau 
2. 
B1: đặt 
B2: 
B3: 
 VD: tính các nguyên hàm sau 
2. 
B1: đặt 
B2: 
B3: 
Cách 2 
VD: tính các nguyên hàm sau 
3. 
B1: đặt 
B2: 
B3: